Меню
Поиск документов
Популярные файлы

Понятие касательной плоскостидля функции двух переменных - Касательная плоскость и нормаль к поверхности

В случае функции двух переменных условие дифференцируемости может быть иллюстрировано геометрически. Введем понятие касательной плоскости к поверхности в точке.

Плоскость П, проходящая через точку поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку и любую точку поверхности, стремится к нулю, когда точка стремится к рис. Если в точке существует касательная плоскость, то очевидно, что касательная в точке о к любой кривой расположенной на поверхности и проходящей через лежит в указанной плоскости.

Из аналитической геометрии известно, что это уравнение определяет в декартовой системе координат некоторую плоскость П, проходящую через точку имеющую нормальный вектор Докажем, что эта плоскость П является касательной плоскостью в точке поверхности Для этого достаточно убедиться, что: Перейдем к доказательству утверждения 2. Вычислим косинус угла воспользовавшись известной формулой для косинуса угла между двумя векторами. Так как координаты вектора равны А, В, —1, а координаты вектора секущей равны см.

Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси. Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей. ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. Существование и единственность суммы и произведения вещественных чисел. Некоторые часто употребляемые соотношения.

Функции нескольких переменных

Некоторые конкретные множества вещественных чисел. Аксиоматическое введение множества вещественных чисел. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 2. Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [0, 1]. Свойства операций над множествами. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Сходящиеся последовательности их свойства. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Примеры сходящихся монотонных последовательностей. Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов.

Критерий Коши сходимости последовательности. Предел функции по Гейне и по Коши. Критерий Коши существования предела функции. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Арифметические операции над непрерывными функциями. Сложная функция и ее непрерывность. О точках разрыва монотонной функции. Глобальные свойства непрерывных функций. Понятие равномерной непрерывности функции. Понятие модуля непрерывности функции. О покрытиях множества системой открытых множеств.

Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала для установления приближенных формул. Производные показательной и обратных тригонометрических функций. Таблица производных простейших элементарных функций. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА 2.

Функции нескольких переменных

Условия монотонности функции на интервале. Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной. Раскрытие неопределенностей других видов. Другая запись формулы Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. Доказательство иррациональности числа е. Вычисление значений тригонометрических функций. Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов. Первое достаточное условие экстремума. Второе достаточное условие экстремума.

Третье достаточное условие, экстремума. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке. Общая схема отыскания экстремумов. Первое достаточное условие перегиба. Некоторые обобщения первого достаточного условия перегиба.

Второе достаточное условие перегиба. Третье достаточное условие перегиба. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых множителей.

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрируемость рациональной дроби в элементарных функциях. Интегрируемость в элементарных функциях некоторых тригонометрических иррациональных выражений. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ СУММЫ И ИХ СВОЙСТВА 2. Основные свойства верхних и нижних сумм. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 2.

Основная формула интегрального исчисления. Важные правила, позволяющие вычислять определенные интегралы. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме.

Неравенство Гёльдера для сумм. Неравенство Минковского для сумм. Неравенство Гёльдера для интегралов. Неравенство Минковского для интегралов. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 2. Вычисление длины дуги кривой. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 2. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора. Некоторые классы кубируемых тел. Методы хорд и касательных.

Множества точек m-мерного евклидова пространства. Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных. Бесконечно малые функции m переменных. Непрерывность функции m переменных по одной переменной. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных.

Дифференциал функции нескольких переменных. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в интегральной форме. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Достаточные условия локального экстремума функции m переменных.